Partendo dalle funzioni trigonometriche degli angoli acuti studiate alle scuole medie (cateto opposto / ipotenusa), quando affrontiamo angoli maggiori di $90^\circ$ o angoli negativi, il triangolo rettangolo geometrico non è più applicabile. In questo caso,il cerchio unitariodiventa lo strumento essenziale per unificare tutti gli angoli e definire le funzioni trigonometriche.
1. Definizione delle funzioni trigonometriche per angoli qualsiasi
Sia $\alpha$ un angolo qualsiasi, la sua semiretta finale interseca il cerchio unitario nel punto $P(x, y)$. Allora si definisce:
- Senso (Sine): $\sin \alpha = y$
- Coseno (Cosine): $\cos \alpha = x$
- Tangente (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Se il punto $P(x, y)$ si trova su un cerchio di raggio $r$, allora $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Relazioni fondamentali tra funzioni trigonometriche dello stesso angolo
Derivato direttamente dall'equazione del cerchio unitario $x^2 + y^2 = 1$:
1. Relazione quadratica: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Relazione del rapporto: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Relazione del rapporto: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Inoltre, nell'analisi matematica avanzata, le funzioni trigonometriche possono essere approssimate numericamente tramitela formula di Taylorper calcoli approssimati numerici, ad esempio: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, il che mostra un profondo legame tra le funzioni trigonometriche e i polinomi algebrici.